積分計算機

逐步求解不定積分與定積分：變數代換、分部積分、部分分式、瑕積分極限，並附有陰影區域圖。

不定積分定積分

要積分的函數

∫

變數

試試範例

積分

圖形與面積

拖曳可平移，捲動或雙指縮放可變更比例，滑過或點按曲線可追蹤，點擊灰色點可固定其座標。

反導數來自各種積分法則（冪法則、變數代換、分部積分、部分分式、三角恆等式），且每一個結果都會再以微分驗證。定積分與瑕積分在可能時會給出精確值，並一律以自適應 Gauss-Kronrod 與 tanh-sinh 求積法檢驗。

積分計算機會運用微積分課程中教授的方法，逐步求出反導數：冪法則、標準積分、變數代換、分部積分（包括 e^x sin x 的情形）、搭配多項式除法的部分分式，以及三角恆等式。

每個反導數在顯示前都會以微分驗證。當沒有任何法則適用時，系統會視需要載入完整的電腦代數引擎，並以相同方式驗證其答案。

對於定積分與瑕積分（上下限如 0 和 pi，或 -inf 和 inf），系統會在可能時計算精確值，並一律以自適應 Gauss-Kronrod 與 tanh-sinh 求積法確認，同時給出誤差估計。圖形會以陰影標示帶號面積。

冪法則、積分表公式、線性與一般的變數代換、分部積分（必要時重複使用）、搭配多項式長除法的部分分式，以及處理正弦與餘弦冪次的三角恆等式。

切換到「定積分」，並將 inf 或 -inf 當作上下限輸入。計算機會轉換無限區間，並回報積分是否收斂。

有些函數（例如 sin(x)/x）沒有初等函數形式的反導數。工具會告知這點，而定積分模式仍能提供附有誤差估計的精確數值。

系統會使用兩種獨立的求積法則並互相比對。對於平滑函數，誤差通常低於 1e-12，估計誤差會顯示在結果下方。

1/x 的積分是 ln|x| + C，加上絕對值能讓結果在 x 為負數時同樣成立。積分常數以 + C 表示。