積分計算ツール

不定積分と定積分をステップごとに解きます。置換積分、部分積分、部分分数分解、広義積分の極限、塗りつぶした面積のグラフに対応しています。

不定積分定積分

積分する関数

∫

変数

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積分

グラフと面積

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原始関数は積分の規則(べき乗、置換、部分積分、部分分数、三角関数の恒等式)から求め、すべて微分して元に戻ることで検証しています。定積分と広義積分は、可能な場合は厳密に求め、常に適応型のガウス・クロンロッド法と tanh-sinh 求積法で確認します。

積分計算ツールは、微分積分の授業で学ぶ方法で、原始関数をステップごとに求めます。べき乗の規則、標準的な積分、置換積分、部分積分(e^x sin x のケースを含む)、多項式の割り算を伴う部分分数分解、三角関数の恒等式に対応しています。

すべての原始関数は、表示する前に微分して元に戻ることで検証されます。どの規則も当てはまらない場合は、フル機能の数式処理エンジンが必要に応じて読み込まれ、その答えも同じ方法で検証されます。

0 と pi、-inf と inf といった積分範囲を持つ定積分や広義積分では、可能な場合は厳密値を計算し、常に適応型のガウス・クロンロッド法と tanh-sinh 求積法で確認して、誤差の推定値も表示します。グラフでは符号付き面積が塗りつぶされます。

べき乗の規則、積分表の積分、一次式および一般の置換積分、部分積分(必要に応じて繰り返し)、多項式の筆算による割り算を伴う部分分数分解、正弦と余弦のべき乗に対する三角関数の恒等式です。

「定積分」に切り替え、積分範囲に inf または -inf を入力します。無限の範囲は変換され、積分が収束するかどうかが表示されます。

sin(x)/x のように、初等関数の原始関数を持たない関数もあります。その場合はその旨が表示され、定積分モードでは誤差の推定値とともに正確な数値が得られます。

独立した2つの求積法を使って結果を比較します。滑らかな関数では誤差は通常 1e-12 未満で、推定値は結果の下に表示されます。

1/x の積分は ln|x| + C です。絶対値を付けることで、x が負の場合にも結果が成り立ちます。積分定数は + C と表記されます。