积分计算器

分步求解不定积分和定积分：换元法、分部积分、部分分式、广义积分极限，并绘制阴影面积图。

不定积分定积分

要积分的函数

∫

变量

试试示例

积分

图像与面积

拖动可平移，滚动或双指缩放可缩放，悬停或点按曲线可追踪，点击灰色点可固定其坐标。

原函数来自积分法则（幂法则、换元、分部积分、部分分式、三角恒等式），每个结果都会通过求导进行验证。定积分和广义积分会尽可能给出精确值，并始终用自适应 Gauss-Kronrod 和 tanh-sinh 求积进行校验。

积分计算器使用微积分课程中讲授的方法逐步求原函数：幂法则、标准积分、换元法、分部积分（包括 e^x sin x 的情形）、带多项式除法的部分分式，以及三角恒等式。

每个原函数在显示前都会通过求导进行验证。当没有适用的法则时，会按需加载完整的计算机代数引擎，其结果同样以这种方式验证。

对于定积分和广义积分（上下限如 0 和 pi，或 -inf 和 inf），会尽可能计算精确值，并始终用自适应 Gauss-Kronrod 和 tanh-sinh 求积加以确认，同时给出误差估计。图像会为有向面积着色。

幂法则、积分表、线性及一般换元法、分部积分（必要时重复使用）、带多项式长除法的部分分式，以及针对正弦和余弦幂的三角恒等式。

切换到定积分，并将 inf 或 -inf 作为上下限输入。计算器会对无穷区间进行变换，并报告积分是否收敛。

有些函数（如 sin(x)/x）没有初等原函数。工具会明确告知，而定积分模式仍可给出带误差估计的精确数值。

会使用两种独立的求积规则并相互比较。对于光滑函数，误差通常低于 1e-12，估计值显示在结果下方。

1/x 的积分是 ln|x| + C，使用绝对值可保证结果对负的 x 同样成立。积分常数写作 + C。